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にならない話

名古屋会議にて、id:matumoto_nagaseさんに「大学の数学ってなにやるの?」と訊かれました。たとえば・・・と可換性の話をしようと口を開いたものの、いかんせん酔っぱらい。「a+b=b+aは当たり前だと思ってるでしょ? でもそうじゃないこともあるんですよ。a+bb+aが同じにならないこともあるの。そういうのを証明するんです」と切り出したものの、その後ずるずると「うまく説明できない」泥沼へ。うまく言えませんーすいませんーと弱音を吐いたところ、
「じゃあ、ブログで書いてくださいよ」
と、ブロガーの鏡のようなコメントをいただいたので、調子に乗って、数学の話をします。

a\cdot b \neq b \cdot aになるわけ

上に書いた

a+b=b+aにならないこともある

という表現。これでもいいんですが、「+」という記号よりも「・」という記号のほうが説明しやすいので、ここからは、こちらを使わせてください。つまりこれから、

a\cdot b = b \cdot aにならないこともある

ということを、説明します。

ここで、たとえばaは2, bは3(*1)、「・」は私たちが小学生で習うかけ算「×」と同じ意味 と定義します。すると

 2\cdot3 = 3\cdot2

になります。2かける3は6、3かける2は6、だから「2かける3=3かける2」、当たり前ですね。

さて、私は↑で『「・」は私たちが小学生で習うかけ算「×」と同じ意味 と定義します』と書きました。これも当たり前じゃない?と思う人も多いでしょう。高校生くらいで「×」を「・」と書きます、と習ったからですね。ですが、大学で習う数学では、そういう決まりは取っ払って考えることがあります。つまり、定義を決めるところから、始めることがあります。そしてaやbは、数字じゃなくてもOKです。

そこで「・」の定義を、こう決めてみましょう。↑の「・」と混ざるとややこしいので、この2つめの定義の「・」を「●」と書きます。

a●bは、aをb回かけたもの。たとえば、2●3=2×2×2

これは、中学や高校の数学では「 2^3と書いたものです。すると、このとき、

2●3 = 3●2 ?

・・・になるでしょうか? 念のために普通の記号で計算すると

2●3 = 2×2×2
3●2 = 3×3

ですから、

2●3 ≠ 3●2

ですね。つまり、こういうふうに定義すると、a●b=b●a には、なりません。


数字の話ばかりでなく、もうちょっと日常的な話にしましょうか。さっき、「定義を決めるところから、始めることがあります。そしてaやbは、数字じゃなくてもOKです。」と書きました。つまり、

aは「Tシャツを着る」こと
bは「コートを着る」こと

という定義も、できちゃいます。そして「・」の定義は、、、↑と混ざるとややこしいので、3つめの定義の「・」を「☆」と書きます。「☆」の定義は次のようにします。

a☆bは、aをして、その後にbをすること。たとえば、a☆bは、「Tシャツを着る」、そしてその後に「コートを着る」こと

あんまり数学っぽくないです。でも、これも数学の考え方です*2

ところで、この定義でも、a☆b = b☆aには、なりませんね。「Tシャツを着る」後に「コートを着る」のと、「コートを着る」後に「Tシャツを着る」のは同じじゃありません。ユニクロで売っているような普通のTシャツとコートなら、コートの後にTシャツを着たら、おかしなことになります。

蛇足ですが、私はこんなことも考えました。

aは「ブログAを読む」こと
bは「ブログAを書いているブロガーと会う」こと

と定義します。それから、Tシャツとコートのところで使った「☆」を使います。すると、これはa☆b = b☆aでしょうか? たとえば「@keitabando のブログ」を読んでからid:keitabandoさん本人に会うのと、前提知識なしに本人に会ってから「@keitabando のブログ」を読むのと、同じ結果をもたらすでしょうか? ・・・なんとも言えませんね。私個人的には、違う結果になる、つまり違う人間関係が出来上がると思うので、「a☆b≠b☆a」だと思います。が、他の人は違う考えをするでしょうし、会って10年経ったら、どっちが先でも同じ結果になるかもしれません。だから、これは、数式で書かない方が誤解を招かなくて良いですね。

まとめ

長くなってしまいましたが、そんなわけで、

a\cdot b = b \cdot a

になるとは、限りません。というか、むしろ a \cdot b = b \cdot aが成り立つことのほうがレアケース。「 1+2=2+1」になるのなんて、数字を使った数学のなかでも、一部分です。小中高校だと、そういう数字にフォーカスを当てているので、「 a+b = b+a ? 1+2=2+1ってことでしょ? 当たり前だよ」と思っちゃうだけです。・・・納得いきませんか? じゃあ、わかりやすい例を、もうひとつ。

 a-b=b-a ?

・・・いかがでしょう?*3

大学数学って何やるの? 雑談

・・・というような感じで、大学でやる数学は、あんまり数学っぽくありません。数学専攻だったと言うと「計算得意なんでしょ?」と、飲み会の割り勘代計算を頼まれることがありますが、大学の数学で計算した記憶はあまりないです・・・。頼まれることが多いから、4〜5桁の数字(お会計金額)を1〜2桁の数字(人数)で割る暗算が得意になってきたような気もしますが、、、鶏が先か? 卵が先か? 状態です。

もちろん小中高と得意で、そのまま数学専攻している人が多いので、数学が計算な人は多いでしょう。が、私は高校で数学大苦手だったのに、大学に入ってから紆余曲折を経て数学専攻になったので、もにょもにょ。その代わり、数学がわからない人の気持ちはよくわかります。ちなみに高校生のときの得意教科は英語と国語と化学で、大学の併願校は早稲田の文学部(当時の入試科目:国語、英語、小論文)でした。

参考図書

シャツとコートの例は、遠山啓先生の「代数的構造 」という本から借りました。シャツやコートの例のように親しみやすい例が載っていたり、日本紋様を使って自己同型群の説明をしていたり、読んでいて楽しい数学書です。しかし残念ながら絶版の模様。

遠山先生は数学教育の先生で、数学が苦手な人でも読める本をたくさん書いていらっしゃいます。非理系の人にも是非読んで欲しいのは、「数学入門」。わかりやすく、そして、深いです。値段もサイズも手頃だし、たいていの図書館に置いてますよ。

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追記

kokumaruのコメントを受け、若干修正。いつでもツッコミ歓迎です。

*1:本当はここは「aは自然数の2、 bは自然数の3」と言うべきです。

*2:正しく言うと、これは、数学の1つの分野である代数の考え方の説明です。

*3:thanks, id:pho